Jeu de culture générale

Dans un jeu, Jeanne doit trouver la bonne réponse à une question posée. Les questions sont classées en trois catégories : sport, cinéma et musique. Jeanne, fervente supportrice de ce jeu, est consciente qu'elle a :

• \(1\)  chance sur \(2\)  de donner la bonne réponse sachant qu'elle est interrogée en sport ;
  
• \(3\)  chances sur \(4\)  de donner la bonne réponse sachant qu'elle est interrogée en cinéma ;
• \(1\)  chance sur \(4\)  de donner la bonne réponse sachant qu'elle est interrogée en musique.
  

On note :

• \(\text S\)  l'événement « Jeanne est interrogée en sport » ;
  
• \(\text C\)  l'événement « Jeanne est interrogée en cinéma » ;
  
• \(\text M\)  l'événement « Jeanne est interrogée en musique » ;
  
• \(\text B\)  l'événement « Jeanne donne une bonne réponse ».
  

Rappel de notation : la probabilité d'un événement \(\text A\)  est notée \(P(\text A)\) .

Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. On admet donc que \(P(\text S) = P(\text C) = P(\text M) = \dfrac{1}{3}\) .

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Jeanne tire au hasard une question. Montrer que \(P(\text B) = \dfrac{1}{2}\) .

Pour participer à ce jeu, Jeanne doit payer \(10\)  € de droit d'inscription. Elle recevra :

• \(10\)  € si elle est interrogée en sport et que sa réponse est bonne ;
  
• \(20\)  € si elle est interrogée en cinéma et que sa réponse est bonne ;
• \(50\)  € si elle est interrogée en musique et que sa réponse est bonne ;
  
• rien si la réponse qu'elle donne est fausse.
  

On note \(X\)  la variable aléatoire qui à chaque partie jouée par Jeanne associe son gain algébrique, c'est-à-dire la différence en euros entre ce qu'elle reçoit et les \(10\)  € de droit d'inscription.
3. Montrer que \(P(X = 40) = \dfrac{1}{12}\) .

4. Déterminer la loi de probabilité de \(X\) .

5. Calculer l'espérance mathématique de \(X\) . Jeanne a-t-elle intérêt à jouer ?